Long Luo's Life Notes

By Long Luo 在之前的文章里，我们分别讲解了 和 ，相信大家已经感受到了 的功力了吧！ 那么问题来了：2008 年这么狠，2010 年也不简单，夹在中间的 2009 年呢？ 颤抖吧！ 今天，我们继续来挑战这道也是出自陶平生老师之手的 2009 年江西高考理科数学压轴题。 2009 江西卷理22 （本小题满分14分） 各项均为正数的数列 \({a_n}\) ， \(a_1 = a, \ a_2 = b\) ，且对于满足 \(m + n = p + q\) 的正整数 \(m, n, p, q\) ，都有 \(\dfrac {a_m + a_n}{\left( 1 + a_m \right) \left( 1 + a_n \right)} = \dfrac {a_p + a_q}{\left( 1 + a_p \right) \left( 1 + a_q \right)}\) . 当 \(a = \dfrac {1}{2}, \ b = \dfrac {4}{5}\) 时，求数列 \({a_n}\) 的通项公式； 证明：对任意 \(a\) ，存在与 \(a\) 有关的常数 \(\lambda\) ，使得对于每个正整数 \(n\) ，都有 \(\dfrac {1}{\lambda} \leq a_{n} \leq \lambda\) . 这道题表面上是一道数列题，融合了数列、方程、不等式，却隐藏着非常漂亮的数学机关。不过，接下来，我们还是先用中学数学知识来解答这道题，最后我们会从更高观点来看这道题，看陶老师是如何埋藏机关的。 分析 题目很短，但最重要的条件其实就一个方程： \[ \dfrac {a_m + a_n}{\left( 1 + a_m \right) \left( 1 + a_n \right)} = \dfrac {a_p + a_q}{\left( 1 + a_p \right) \left( 1 + a_q \right)} \tag{1} \] 先根据题设条件及数列初值，求出数列前几项，看能否找到规律。 根据 \(a_1 = \dfrac {1}{2}, \ a_2 = \dfrac {4}{5}\) ，代入方程 (1) ，可得： \[ \dfrac {1/2 + a_3}{\left( 1 + 1/2 \right) \left( 1 + a_3 \right)} = \dfrac {2 \cdot 4/5}{\left( 1 + 4/5 \right)^2} \] 可以求出 \(a_3 = \dfrac {13}{14}\) 。 继续根据 \(a_3 = \dfrac {13}{14}\) ，则有： \[ \dfrac {1/2 + a_4}{\left( 1 + 1/2 \right) \left( 1 + a_4 \right)} = \dfrac {4/5 + 13/14}{\left( 1 + 4/5 \right) \left( 1 + 13/14 \right)} \] 可以求出 \(a_4 = \dfrac {40}{41}\) . 由此我们得到了数列的前 \(4\) 项: \(\dfrac {1}{2}, \dfrac {4}{5}, \dfrac {13}{14}, \dfrac {40}{41}\) 。 观察数列前 \(4\) 项，我们能猜测出这个数列的通项公式吗？

By Long Luo 几年前，我在图书馆里闲逛时，在书架里发现了这本书《茶杯里的风暴》，当时阅读了其中几个感兴趣的小节，但并没有全部读完。正如这本书的副标题：用日常之物揭开万物之理，这本书从日常生活入手，带你从生活中随处可见的现象中挖掘物理学的奇妙之处。正如拥有绝对音感的人， ，而熟悉物理的人则知道日常生活中蕴含的物理知识。具体到刚才的声音，听到声音是耳朵接收到空气分子的振动，振动传入鼓膜，经过放大，最后变成神经信号从而被大脑感知，这其中每一步都蕴含了非常丰富的物理知识。 《茶杯里的风暴》英文原版是《Storm in a Teacup: The Physics of Everyday Life》，作者是英国女物理学家 ，她是剑桥大学物理学博士，伦敦大学学院物理学家。 Storm In a Teacup 是英语习语，意思是“小题大做、一场小风波”，但作者又把它重新按照字面意义理解：把不重要的事情看得非常重要。就好像在只有轻微波动的天气情况下，却像遇到了巨大的风暴一样做出反应。 《茶杯里的风暴》 序章 物理定律适用于宇宙任何地方， 地球上的物理学定律适用于宇宙中的任何地方 蝎子 反光外套 对人类来说，荧光现象简直就是免费的午餐；我们本来看不到的紫外线转化成了可以利的可见光，但我们不用付出任何代价。 物体总是倾向于保持原来的运动状态，除非你对它施加外力。你可以用熟鸡蛋和生鸡蛋做个实验，生鸡蛋 人类对世界充满好奇，满足好奇心会带来极大的愉悦。要是能够亲手解开谜题，或者和别人一起走过发现之旅，你还会得到更强的满足感。 世界如此复杂，任何人都不可能完全理解所有细枝末节，但在这条道路上，基本原理是价值连城的宝贵工具，值得你随身携带。 科学不只关乎搜集事实，还涉及解决问题的逻辑推理过程。 柠檬汁会催化水果里的天然果胶，让果酱变得黏稠。而柠檬汁之所以有这种效果，是因为它是酸性的。

By Long Luo 如果你在搜索引擎中搜索“史上最难高考数学题”，大部分链接都会指向 2008 年江西高考理科数学压轴题。和之前文章探讨的 一样，2008 年江西高考理科数学压轴题同样由 命制。这道题原型是 CMO2003 第 3 题，陶平生老师对其进行改编。该题难度极高，满分 14 分，当年全省考生无人得满分，平均分仅 0.31 分，史上最低纪录，最高得分 9 分仅一位考生，8 分两位，堪称史上最难压轴题。 虽然这道题的解法已经在很多地方见过，但自己一直没有静下心来完整推导一遍。最近终于亲自动手做了一次，把整个思考和求解过程记录下来，也算是给自己留一份笔记。 （本小题满分14分） 已知函数 \[ f(x) = \frac {1}{\sqrt{1 + x}} + \frac{1}{\sqrt{1 + a}} + \sqrt {\frac {ax}{ax + 8}}, \quad x \in (0, +\infty) \] 当 \(a = 8\) 时，求 \(f(x)\) 的单调区间； 对任意正数 \(a\) ，证明： \(1 < f(x) < 2\) . 分析 对于第一问来说，比较简单，考察求导法则，有一定计算量。 将 \(a = 8\) 代入，可得： \[ f(x) = \frac{1}{3} + \frac{1}{\sqrt{1 + x}} + \sqrt{\frac{x}{1 + x}} = \frac{1}{3} + \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{1 + x}} \tag{1} \] 求导可得： \[ f'(x) = \frac {1 - \sqrt{x}}{2 \sqrt {x(1 + x)^{3}}} \tag{2} \] 令 \(f'(x) = 0\) ， \(\dfrac {1 - \sqrt{x}}{2 \sqrt {x(1 + x)^{3}}} = 0\) ，解得 \(x = 1\) 。 当 \(0 < x < 1\) 时， \(f'(x) > 0\) , \(f(x)\) 严格单调递增; 当 \(x > 1\) 时， \(f'(x) < 0\) , \(f(x)\) 严格单调递减。 \(a = 8\) 时 \(f(x)\) 的图像：

By Long Luo 每天清晨，当太阳缓缓升起，第一缕阳光洒向大地，我们便开始感受到它带来的温暖。到了盛夏的中午，炽热的阳光甚至会让人汗流浃背，不得不寻找树荫或空调避暑。从植物进行光合作用，到风、雨和四季的形成，再到地球上几乎所有生命活动所需的能量，都直接或间接来自太阳。可以说，没有太阳，就没有今天丰富多彩的生命世界，这个生机勃勃的星球。 当人类走出蛮荒，开始仰望星空时，一些远古的智者肯定就思考过这样一个问题：这颗挂在天上的大火炉到底有多热？但直到现在，仍然没有人能够把温度计放到太阳表面进行测量。但令人惊讶的是，人类并不需要飞往太阳附近，也不需要把温度计伸到太阳表面，仅凭在地球上的观测数据和几条经典的物理定律，就能够计算出太阳表面的温度约为 \(5770K\) （约 \(5500\,^\circ\mathrm{C}\) ）。实际上，计算得到这个数字只需要中学知识，那么这个数字究竟是如何一步步推导出来的呢？接下来，就让我们一起揭开其中的奥秘。 太阳有多热？ 科学家早已发现，太阳并不是一个整体均匀的“火球”，而是由不同区域组成的复杂天体，因此各个区域的温度也各不相同。例如，太阳核心的温度高达约 \(1500\) 万摄氏度，在那里持续发生着核聚变反应，释放出巨大的能量；而在太阳大气的最外层——日冕中，温度反而升高到约 \(100\) 万至 \(200\) 万摄氏度，这一现象至今仍是太阳物理学中的重要研究课题。 太阳所产生的巨大能量，正是从这些高温区域向外传递，并最终从太阳表面向宇宙空间辐射出去。地球所接收到的太阳能量，只是其中极其微小的一部分，却足以维持地球上所有生命活动。

By Long Luo 日本生物学家本川达雄( \(\textit{Tatsuo Motokawa}\) )写的书 几年前我曾经在书店的畅销书里看到过，是一本很有趣的书，解答了我心中很多关于生物的疑问。书不厚，在书店里就读完了几章，后来去图书馆借来看完了剩下几章。最近又重新翻阅了这本书，这次做下读书笔记。 大象的时间，老鼠的时间 第一章 动物的体型和时间 体型不同，动物的时间也不同 在不同体型的动物身上感觉到时间的流逝是不一样的，比如狗的寿命是 12 年。但对于他的心率、呼吸、对时间流逝的感知度的角度来看，他们仿佛也度过了漫长的一生。 哺乳动物的时间与体重的 1/4 次方成正比。 不同的动物心跳数相同吗？ 每1次呼吸间隔，心跳会跳4次。 不管哪种哺乳动物，一生的心跳，大约都是20亿次，一生的呼吸则是5亿次。 第二章 动物的体型和进化 随着进化，动物会越来越大吗？ 体型越大越好？ 岛上的大象为何越来越小？ “岛屿法则”指的是在岛屿上，大型动物有变小的趋势，小型动物有变大的趋势，这在古生物学中被称为岛屿法则。 对于这种法则，很大的体型也需要很大的摄入量，在岛屿这种，捕食压力变小的情况下，大象就没有必要为了变大而勉强支撑。同样的，老鼠也变大了，回到了作为哺乳动物最轻松的体型。 还是先回到变大策略的好处上来吧。 柯普法则：同一物种的进化过程中，体型大的种类有晚出现的趋势。 体型大的优势： 不易受环境影响能保持独立。体型越大，越容易保持恒温。恒温有利于动物体内生化反应的稳定发生。 恒温还能确保恒时，比如鸟儿要保持一个体温，才能够快速的移动。也就是说，当体温变化时间在生物身上的流逝，也是会发生变化的。如果温度忽高忽低，在低温状态移动会减慢，就等于时间的流速也慢了。就跟看视频的时候卡了一样。 体型越大，恒温所需的能量越少。也因为表面积体积比例越小而更耐干旱。 体型越大的动物细胞数量越多，因此就能够把多余的部分用于新机能的开发。细胞代谢率也相对更低，能量更富余，所以大型动物有条件来充分的发展智能。挺新月大的动物进食，时间见个月长，也有更充裕的时间来从事其他活动。 体型小的优势: 越小越容易发生变异寿命，短数量多，短时间内产生变异的概率大。 移动能力弱，从地理上与附近的其他种群保持隔离，产生新集团而独自发展的机会就更多。 个体越小生存压力越大，能适应才能活下来，所以抗逆性会更高。 小型动物水不断被捕时，死亡率高君个体多而不断产生新物种，因此有很大概率能留下后代。 这里又开始出现辩证的哲思了。大型动物不易受微小环境变化影响，更长寿，这本来是优势，但是这种稳定性现在又成了障碍，使得这一种群很难产生新的物种，而且大型动物数量少，一旦遇到了超越承受边界的环境压力，有可能还没来得及苟活变异，直接就整灭绝了。

By Long Luo 我出生在长江中下游的一个小山村，村子背后是一座小山，村子前面有一条小河，它在村子前面转了个大弯。 它没有乱石穿空的激流险滩，也没有飞流直下的瀑布，随着地势弯弯曲曲的小河，就是一条在很小很小的小河。说它是河又不能称之为河，因为它太小、太窄了，最宽处也就不过5，6米左右，远没有河的宽广和波澜壮阔。在南方，它是条普通到不能再普通的河，普通到没有名字，乡里四邻约定俗称的都称它为小港。 我小时候不知道港字是哪个字，后来才知道就是“港”字，而字典里“港”有“小河、小沟、小水道”的意思。之所以叫小港，因为还有条更大的小河叫大港，小港最终汇入到了大港。 如果小港在穿城而过或者在北方，我想它肯定会被赋予一个很好听的名字，但在农村，像小港这样的小河实在是太多了，多到每个镇都可能有好几条，所以我们都叫小港或者大港。

By Long Luo 天似穹庐，笼盖四野。仰望天空，头顶的苍穹如同一顶巨大的圆盖，将万物尽数笼罩；而脚下的大地辽阔无垠，行走其上却难见边界。在漫长的历史中，“天圆地方”的观念显得那样自然：天空是弯曲的，土地是平坦的。毕竟，对古人而言，大地实在太大了，大到穷尽一生也难以走到尽头，很难获知大地到底是什么样的形状。 我们脚下的大地是个球 在遥远的地中海彼岸，生活在古希腊的思想家们却通过观察到很多自然现象开始怀疑直觉，认识到其实大地并非平坦，而是一个巨大的球体。 公元前600年前后，古希腊哲学家毕达哥拉斯( \(\textit{Pythagoras}\) )从美学观念出发，认为宇宙一定是和谐的、简单的，宇宙中所有天体的形状和它们的运动轨道都应该是完美的。他认为，一切立体图形中最美的是球形，因为球面上的任何一点离球心的距离都相等，所以天体一定是球形的，太阳、月亮是球形的，恒心天球是球形的，大地也一定是球形的 。 古希腊著名哲学家亚里多士德( \(\textit{Aristotle}\) )则提供了多个物理证据说明了地球是圆的：远去的帆船逐渐消失在地平线下，桅杆是最后消失的；当我们朝北或朝南运动时，所看到的星空是不相同的，例如越往北，北极星在天空的高度就越高；发生月食时，地球在月亮上的阴影是圆的。 如果大地真是一个球，那么一个不可回避的问题便随之而来：这个球究竟有多大？它的周长是多少？在没有卫星、没有望远镜的时代，这似乎是一个无解的难题。 埃拉托色尼的最美实验 几乎每一本讲述科学史的书都会讲述埃拉托色尼( \(\textit{Eratosthenes}\) ) 测量地球实验。他仅凭阳光与影子，便完成了人类历史上第一次对地球大小的测量，这个实验也被评为世界最美实验之一 。 埃拉托斯特尼（公元前 276 —— 195 年）是亚历山大图书馆的馆长，也是古代最伟大的思想家之一，不仅博学多才，还是一位杰出的数学家和天文学家。不幸的是，亚历山大图书馆后来毁于战火，他的大部分著作也随之失传，但幸运的是，他用棍子的阴影计算地球大小的优雅方法得以保存。

By Long Luo 2007 年江苏高考数学卷第 20 题是一道颇具代表性的数列综合题。题目将等差数列与等比数列联系在一起，通过两列数的公共项建立方程关系，并逐步挖掘出数列背后的代数结构。 第一问利用公共项条件证明一个看似巧合的求和结论；第二问进一步由特殊项关系推出公比必须为整数，并证明整个等比数列都嵌入在等差数列之中；而最有趣的是第三问，当我们研究等比数列中何时会出现三项成等差数列时，竟然会得到一个十分熟悉的特殊数 —— 黄金分割数。 解答这道题不依赖复杂的技巧，只需要按照题目条件找到关系，列好方程即可。下面按照题目的三个小问，逐步分析其证明过程。 （本题满分16分） 已知 \(\{ a_{n} \}\) 是等差数列， \(\{ b_{n} \}\) 是公比为 \(q\) 的等比数列， \(a_1 = b_1\) ， \(a_2 = b_2 \ne a_1\) 。记 \(S_{n}\) 为数列 \(\{ b_{n} \}\) 的前 \(n\) 项和。 （1）若 \(b_k = a_m\) （ \(m, k\) 是大于 \(2\) 的正整数），求证： \(S_{k-1} = (m - 1)a_1\) ； （2）若 \(b_3 = a_i\) （ \(i\) 是某个正整数），求证： \(q\) 是整数，且数列 \(\{ b_n \}\) 中的每一项都是数列 \(\{ a_{n} \}\) 中的项； （3）是否存在这样的正数 \(q\) ，使等比数列 \(\{ b_{n} \}\) 中有三项成等差数列？若存在，写出一个 \(q\) 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由。

By Long Luo 微软、Google 等科技公司的面试题库中，流传着许多经典问题。小时候在杂志上看过微软那道著名的面试题 ——“为什么下水道井盖是圆的？”，当时觉得这类问题十分有趣，因为它考察的往往不是知识储备，而是分析问题的思维方式。 最近，我又重新翻到了 Google 的一道经典面试题 —— 双蛋问题（ \(\textit{Two Eggs Problem}\) ）或者说鸡蛋掉落问题（ \(\textit{Egg Dropping Puzzle}\) ）。与井盖问题不同，这道题更偏向数学推导与算法优化，但同样充满巧思。乍看之下，它只是一个简单的试验设计问题；深入分析后却会发现，其中隐藏着相当优美的最坏情况分析思想，是一道非常值得细细品味的经典题目。 这道题的原文如下： You work in a \(100\) floor building and you get \(2\) identical eggs. You need to figure out the highest floor an egg can be dropped without breaking. Find an algorithm that is minimizing number of throws in the worst-case scenario. 你站在一栋 \(100\) 层高的大楼里，手中有 \(2\) 个完全相同的鸡蛋。有一未知的临界楼层，鸡蛋从临界楼层以下扔下去，一定不会碎；从临界楼层以上丢下去，一定会碎。已知未碎的鸡蛋可以重复使用，碎了的鸡蛋就不能再往下扔了。要求即便在最坏情况下，尝试次数也要尽可能少。请问最少需要尝试多少次能够找到这个临界楼层？ 一个鸡蛋 如果只有 \(1\) 个鸡蛋，问题解法非常简单。我们别无选择，只能从一楼开始逐层测试。用这种方法一定能找到鸡蛋安全掉落的最高楼层：该楼层就是鸡蛋摔碎楼层的楼下一层。 那么在最坏情况下，最少需要尝试多少次？答案就是 \(100\) 次。因为最坏的情况就是临界楼层为第 \(100\) 层。如果鸡蛋在第 \(100\) 层摔碎，则临界楼层为 \(99\) 层。 两个鸡蛋 如果有 \(2\) 个鸡蛋，那么问题就变得有趣起来。此时我们允许试错一次，大家很自然会想到二分查找，但在这里并不是最优方案。如果最高安全楼层是 \(49\) 层，一开始就在 \(50\) 层扔下第一枚鸡蛋，鸡蛋直接摔碎，之后只能逐层测试 \(49\) 次才能得到答案，总计尝试 \(50\) 次。 既然一开始从 50 层扔下不可行，那么很容易想到隔少一点楼层扔下行不行呢？如果我们每隔 \(10\) 层测试一次的话，那么依次在 \(10, 20, 30, 40, 50\) 层扔鸡蛋，鸡蛋在 \(50\) 层摔碎后，再逐层测试 \(41 - 49\) 层即可得出答案，全程仅需 \(14\) 次尝试。由此可见，每隔 \(k\) 层测试一次是可行的思路。在这种策略下在最坏情况下的尝试次数：最坏场景是连续跳层直到鸡蛋摔碎，之后只能用仅剩的一个鸡蛋，在最后一段长度为 \(k - 1\) 的区间内逐层排查。 那么尝试次数计算公式为： \(\lfloor \dfrac {100}{k} \rfloor + (k - 1)\) 。注意到 \(\dfrac {100}{k}\) 和 \(k - 1\) 是此消彼长的关系，在大概 \(k = 10\) 左右有极值，当 \(k = 8, 9, 10, 11, 12, 13\) 时，计算得到最坏尝试次数为 \(19\) 次。 那这个问题的正确答案是扔多少次呢？

By Long Luo 2010年江苏高考数学II卷的压轴题是一道竞赛味很浓的题，涉及群论( \(\textit{Group Theory}\) ) 中有理数在四则运算下的封闭性，并需要结合余弦定理与数学归纳法进行递推证明。 如果对有理数的运算性质较为熟悉，这类问题解题思路非常简单；但若缺乏相关代数结构的理解，则容易在递推关系的构造上产生困难。 23、（本小题满分 10 分） 已知 \(\triangle ABC\) 的三边长为有理数。 求证 \(\cos A\) 是有理数； 对任意正整数 \(n\) ，求证 \(\cos nA\) 也是有理数。 分析 第一问比较简单，利用余弦定理( \(\textit{Law of Cosines}\) ) 可以将角度的余弦表达为三角形三边的代数组合。由于已知三边均为有理数 ，因此可直接转化为有理数的四则运算问题，从而证明。 第二问的关键在于观察到角度之间存在递推关系，因此可以自然构造二阶递推关系式，并使用数学归纳法 证明该性质在正整数范围内均成立。 第一问 设 \(\triangle ABC\) 三边长分别为 \(a, b, c\) ，因为 \(a, b, c\) 是有理数，那么 \(a, b, c\) 均可表示为 \(\dfrac {m}{n}\) （ \(m, n\) 为互质的整数）形式 ，根据余弦定理有： \[ \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] 根据有理数在四则运算下具有封闭性，则分子 \(b^2 + c^2 - a^2\) 是有理数，分母 \(2bc\) 为有理数，所以 \(\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\) 必定为有理数，所以 \(\cos A\) 是有理数。

By Long Luo 数学题中个人比较喜欢数列与不等式结合的题目，这类题主要对递推关系的观察、数列分析、不等式放缩和解题思路的构造都有较高要求，能体会到数学乐趣。今天来挑战一道2011年清华大学自主招生数学试题中的数列大题，这道题本身计算量不大，难度中等。本文将详细分析这道数列题的解题过程，希望能够帮助读者直观理解这类题目的解题思路。 (本小题满分14分) 已知函数 \(f(x) = \dfrac{2x}{ax + b}\) ， \(f(1) = 1\) ， \(f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{2}{3}\) 。令 \(x_1 = \dfrac{1}{2}\) ， \(x_{n+1} = f(x_n)\) 。 求数列 \(\{ x_n \}\) 的通项公式； 证明 \(x_1x_2 \dots x_n > \dfrac{1}{2e}\) 。 第一问 解：由 \(f(1) = 1\) ， \(f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{2}{3}\) 得： \[ \begin{cases} a + b = 2 \\ a + 2b = 3 \end{cases} \] 易得： \(a = 1, \ b = 1\) ，所以 \(f(x)\) 的表达式为： \[ f(x) = \frac{2x}{x+1} \label{1.1} \tag{1.1} \] 先求出数列 \(\{ x_n \}\) 的前几项： \(x_1 = \dfrac{1}{2}，x_2 = \dfrac{2}{3}，x_3 = \dfrac{4}{5}，x_4 = \dfrac{8}{9}\) ，可以猜测 \(\{ x_n \}\) 通项公式为： \[ x_n = \frac{2^{n-1}}{2^{n-1} + 1} \label{1.2} \tag{1.2} \]

By Long Luo 数学题中个人比较喜欢数列与不等式结合的题目，这类题主要对递推关系的观察、数列分析、不等式放缩和解题思路的构造都有较高要求，能体会到数学乐趣。今天来挑战一道2011年清华大学自主招生数学试题中的数列大题，这道题本身计算量不大，难度中等。本文将详细分析这道数列题的解题过程，希望能够帮助读者直观理解这类题目的解题思路。 (本小题满分14分) 已知函数 \(f(x) = \dfrac{2x}{ax + b}\) ， \(f(1) = 1\) ， \(f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{2}{3}\) 。令 \(x_1 = \dfrac{1}{2}\) ， \(x_{n+1} = f(x_n)\) 。 求数列 \(\{ x_n \}\) 的通项公式； 证明 \(x_1x_2 \dots x_n > \dfrac{1}{2e}\) 。 第一问 解：由 \(f(1) = 1\) ， \(f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{2}{3}\) 得： \[ \begin{cases} a + b = 2 \\ a + 2b = 3 \end{cases} \] 易得： \(a = 1, \ b = 1\) ，所以 \(f(x)\) 的表达式为： \[ f(x) = \frac{2x}{x+1} \label{1.1} \tag{1.1} \] 先求出数列 \(\{ x_n \}\) 的前几项： \(x_1 = \dfrac{1}{2}，x_2 = \dfrac{2}{3}，x_3 = \dfrac{4}{5}，x_4 = \dfrac{8}{9}\) ，可以猜测 \(\{ x_n \}\) 通项公式为： \[ x_n = \frac{2^{n-1}}{2^{n-1} + 1} \label{1.2} \tag{1.2} \]

By Long Luo 在 2005 - 2015 年江西高考自主命题时期，江西卷一直以鲜明的风格闻名全国，尤其是数学试卷，更因题目难度大、运算量惊人而被许多考生视为“噩梦级”存在。此前我们曾解析过 ，一道融合数论的难题。 今天继续回顾江西卷另一道代表性压轴题：2006 年江西高考理科数学最后一题。这道题以数列为核心，将递推关系与不等式深度结合，综合性极强，即使放到今天来看，依然是一道颇具挑战性的高水平试题。 (本小题满分 14 分) 已知数列 \(\{ a_n \}\) 满足： \(a_1 = \dfrac{3}{2}\) ，且 \(a_n = \dfrac {3na_{n-1}}{2a_{n-1} + n - 1}\) （ \(n \geq 2\) ， \(n \in \mathbb{N}^{*}\) ）. 求数列 \(\{ a_n \}\) 的通项公式； 证明：对于一切正整数 \(n\) ，不等式 \(a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n < 2 \cdot n!\) 恒成立。 第一问 在没有头绪的时候，我们不妨先算出数列的前几项，推测数列可能的表达式。 容易计算出： \(a_1 = \dfrac{3}{2}\) , \(a_2 = \dfrac{9}{4}\) , \(a_3 = \dfrac{81}{26}\) ， \(a_3 = \dfrac{162}{40}\) 。 不过观察数列 \(\{ a_n \}\) 前 4 项，仍然看不出什么规律，这个时候就要根据题设条件，找到数列的递推公式。 观察 \(a_n = \dfrac {3na_{n-1}}{2a_{n-1} + n - 1}\) ，由于分子只有1项，而分母里既有 \(a_{n-1}\) 又有 \(n - 1\) ，这种情况下如果对原式取倒数更容易化简：

By Long Luo 在 2005 - 2015 年江西高考自主命题时期，江西卷一直以鲜明的风格闻名全国，尤其是数学试卷，更因题目难度大、运算量惊人而被许多考生视为“噩梦级”存在。此前我们曾解析过 ，一道融合数论的难题。 今天继续回顾江西卷另一道代表性压轴题：2006 年江西高考理科数学最后一题。这道题以数列为核心，将递推关系与不等式深度结合，综合性极强，即使放到今天来看，依然是一道颇具挑战性的高水平试题。 (本小题满分 14 分) 已知数列 \(\{ a_n \}\) 满足： \(a_1 = \dfrac{3}{2}\) ，且 \(a_n = \dfrac {3na_{n-1}}{2a_{n-1} + n - 1}\) （ \(n \geq 2\) ， \(n \in \mathbb{N}^{*}\) ）. 求数列 \(\{ a_n \}\) 的通项公式； 证明：对于一切正整数 \(n\) ，不等式 \(a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n < 2 \cdot n!\) 恒成立。 第一问 在没有头绪的时候，我们不妨先算出数列的前几项，推测数列可能的表达式。 容易计算出： \(a_1 = \dfrac{3}{2}\) , \(a_2 = \dfrac{9}{4}\) , \(a_3 = \dfrac{81}{26}\) ， \(a_3 = \dfrac{162}{40}\) 。 不过观察数列 \(\{ a_n \}\) 前 4 项，仍然看不出什么规律，这个时候就要根据题设条件，找到数列的递推公式。 观察 \(a_n = \dfrac {3na_{n-1}}{2a_{n-1} + n - 1}\) ，由于分子只有1项，而分母里既有 \(a_{n-1}\) 又有 \(n - 1\) ，这种情况下如果对原式取倒数更容易化简：

By Long Luo 最近在短视频 App 里刷到不少中学数学题讲解，才发现现在的初中数学题，很多已经不只是“会算”这么简单了，背后往往还藏着不等式、函数、几何直觉等不同层面的思维训练。 当然，这也不算奇怪，几十年前的 IMO 试题放现在也就普通题。很多经典数学竞赛题，随着时间推移和教学资源普及，早已从高阶技巧逐渐变成了基础训练的一部分。 前几天我就反复刷到一道“求极值”的题，看起来不难，但这道题其实非常适合拿来练习数学直觉。 已知 \(x + y = 5\) ，求 \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 3}\) 的最大值。 看到这道题，首先想到的几何意义其实是将军饮马模型，但将军饮马问题求得是最小值问题。那最大值该怎么求呢？最大值的几何意义是什么呢？ 这道题的有趣之处在于可以用很多完全不同的思路来解决，有的解法只需要代数变形和基本不等式，也可以使用几何视角、函数思想。 下面就道题为例，把几种典型解法都梳理一遍，也顺便重新锻炼一下自己的数学思维。 解法一：常规解法 由 \(y = 5 - x\) ，原式变成 \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {8 - x}\) ，要保证根号有意义，所以 \(−1 \le x \le 8\) 。 设 \(S = \sqrt {x + 1} + \sqrt {8 - x}\) ，两边平方得 \(S^2 = (\sqrt{x + 1} + \sqrt{8 - x})^2\) 。 展开可得： \[ \begin{aligned} S^2 & = (x + 1) + (8 - x) + 2 \sqrt {(x + 1)(8 - x)} \\ & = 9 + 2 \sqrt {(x + 1)(8 - x)} \\ & = 9 + 2 \sqrt {-x^2 + 7x + 8} \\ & = 9 + 2 \sqrt {-(x - \frac {7}{2})^2 + \frac {81}{4}} \end{aligned} \] 因此 \(S^2 \le 9 + 2 \times \dfrac {9}{2} = 18\) ，于是 \(S \le 3 \sqrt 2\) 当且仅当 \(x = \dfrac {7}{2}\) 时取等号。 故最大值为 \(3\sqrt2\) 。

By Long Luo 在上一篇文章我们剖析了 ，今天来挑战下其中的第 4 题：骰子期望 ，题目如下： 骰子期望 扔 \(n\) 个骰子，第 \(i\) 个骰子有可能投掷出 \(X_i\) 种等概率的不同的结果，数字从 \(1\) 到 \(X_i\) 。所有骰子的结果的最大值将作为最终结果。求最终结果的期望。 输入描述: 第一行一个整数 \(n\) ，表示有 \(n\) 个骰子。( \(1 \le n \le 50\) ) 第二行 \(n\) 个整数，表示每个骰子的结果数 \(X_i\) 。( \(2 \le X_i \le 50\) ) 输出描述: 输出最终结果的期望，保留两位小数。 输入例子 \(1\) : 2 2 2 输出例子 \(1\) : 1.75 要解答这道题，我们需要先从脑海里把中学数学知识捡起来，弄清楚什么是 期望 ？ 在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的数学期望是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和： \[ \operatorname {E} [X] = \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i} \tag{1} \label{1} \] 具体到这道题示例 \(1\) ，很明显 \(2\) 个骰子只能取到 \(1\) 或者 \(2\) 个值： 假设这 \(2\) 个骰子取到的最大值为 \(1\) ，那么这 \(2\) 个骰子都只能选择 \(1\) ，概率为： \(\dfrac {1}{2} \times \dfrac {1}{2} = \dfrac {1}{4}\) ； 假设这 \(2\) 个骰子取到的最大值为 \(2\) ，那么存在 \(2\) 种可能，要么都取 \(2\) 或者 \(2\) 个骰子中有一个骰子投出了 \(2\) ，其概率为： \(\dfrac {1}{2} \times \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{2} \times 1 = \dfrac {3}{4}\) 。 那么期望为： \(\dfrac {1}{4} \times 1 + \dfrac {3}{4} \times 2 = 1.75\) 。 对于骰子数少的时候还可以枚举，如果骰子数量很多呢？用上述方法就会遇到困难，比如有 \(N\) 个骰子，最大值为 \(M\) ，那么骰子结果为 \([1, 2, \dots, M]\) ，如何计算每个结果的概率值呢？ 直接算当然是可行的，但是如果骰子数量很多的话，计算会非常繁琐，所以有没有更简单的方法呢？

By Long Luo 众多IT大厂中拼多多虽然工作强度很大，但在给钱方面非常大方。大厂给的钱多，但要求也高。下面就来挑战拼多多 2020 年校招笔试算法题 中第一题：多多的魔术盒子 ，看看难度如何。 多多的魔术盒子 多多鸡有 \(N\) 个魔术盒子(编号 \(1 \sim N\) )，其中编号为 \(i\) 的盒子里有 \(i\) 个球。多多鸡让皮皮虾每次选择一个数字 \(X\) ( \(1 \le X \le N\) )，多多鸡就会把球数量大于等于 \(X\) 个的盒子里的球减少 \(X\) 个。 通过观察，皮皮虾已经掌握了其中的奥秘，并且发现只要通过一定的操作顺序，可以用最少的次数将所有盒子里的球变没。 那么请问聪明的你，是否已经知道了应该如何操作呢？ 时间限制： C/C++ 1秒，其他语言 2 秒 空间限制： C/C++ 256M，其他语言 512M 输入描述: 第一行，有 \(1\) 个整数 \(T\) ，表示测试用例的组数。 ( \(1 \le T \le 100\) ) 接下来 \(T\) 行，每行 \(1\) 个整数 \(N\) ，表示有 \(N\) 个魔术盒子。 ( \(1 \le N \le 1,000,000,000\) ) 输出描述: 共 \(T\) 行，每行 \(1\) 个整数，表示要将所有盒子的球变没，最少需要进行多少次操作。 输入例子 1 : 1 2 3 4 3 1 2 5 输出例子 1 : 1 2 3 1 2 3 最少的操作次数该怎么做？ 根据题意，我们关键是要找到 最少次数 这个方法，那如何操作才能使用最少次数呢？ 当面对复杂问题时，我们需要从简单情况入手，分析其中规律，找到突破口。 \(N = 1\) 时，显然选择 \(X = 1\) ，需要 \(1\) 次操作； \(N = 2\) 时，可以先选择 \(X = 1\) ，再选择 \(X = 2\) ，需要 \(2\) 次操作； \(N = 3\) 时，只有先选择 \(X = 2\) ，再选择 \(X = 1\) ，最少需要 \(2\) 次操作； \(N = 4\) 时，可以先选择 \(X = 2\) 或者 \(X = 3\) ，最少需要 \(3\) 次操作； 通过分析发现，每次操作之后，球的数量都会动态变化。如果每次都选择 中间 的数字，这样每次操作之后，如果 \(N\) 为奇数的话，可以变成 \(2\) 个对称相同的数组， \(N\) 为偶数的话，则 \(2\) 个数组中元素值会相差 \(1\) ，再选择元素值更多的数组进行消除，这样可以实现 操作次数最少 。 实现代码如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 private static int leastTimes_power ( int n) { int ans = 1 ; for ( int i = 0 ; i <= Math.sqrt(n); i++) { if (Math.pow( 2 , i) <= n) { ans = i; } else { break ; } } return ans + 1 ; } 为什么每次选取中间的数字进行操作次数最少呢？下面我们就来严谨的证明下！

By Long Luo 在科研和工程领域中， 阶乘 ( \(\textit{Factorial}\) )有着广泛的应用。在概率论中，阶乘是计算排列( \(\textit{Permutation}\) )和组合( \(\textit{Combination}\) )时不可或缺的；在物理中，计算粒子系统的状态数以及大型系统的统计分布都要用到阶乘；在计算机中，阶乘则用于图论和组合优化问题。 大家都知道“指数爆炸”这个值，因为指数增长是非常迅猛的。其实阶乘增长要远远快于指数增长，如下图 1 所示为不同算法复杂度增长情况。随着 \(n\) 的增大，阶乘的计算复杂度迅速上升，当处理大 \(n\) 时，计算 \(n!\) 会变得极其复杂且耗时。例如 \(5! = 120\) ，而 \(50! \approx 3.04 \times 10^{64}\) ，这已经是一个非常庞大的数字！直接使用递归方法去求解 \(n!\) 的时间复杂度是 \(O(n)\) ，对于较大的 \(n\) 来说很容易栈溢出。在实际应用中，往往需要计算大数的阶乘，即使目前最先进的计算机去处理极大数的阶乘时，也会面临需要巨大的计算及存储资源消耗问题。 图1. 不同算法时间复杂度 Time Complexity Comparison 人们迫切需要找到一种可以快速计算阶乘的方法，在 18 世纪初期，苏格兰数学家詹姆斯·斯特林( \(\textit{James Stirling}\) )提出了斯特林公式 。斯特林公式( \(\textit{Stirling's Approximation}\) )提供了一种近似计算阶乘的方法，特别适用于大 \(n\) 的情况，其标准形式为： \[ n! \approx {\sqrt {2\pi n}} \,\left( {\frac {n}{e}} \right )^n \tag{1.1} \label{1.1} \] 其对数形式为： \[ \ln (n!) \approx n \ln n - n \] 这个公式最早是亚伯拉罕·棣莫弗( \(\textit{Abraham de Moivre}\) )在研究二项分布时，为了解决大数阶乘问题时发现的，其形式为： \[ n! \approx C n^{n + \frac {1}{2}}e^{-n} \tag{1.2} \label{1.2} \] 其中 \(C\) 为某个常量值，斯特林证明了公式中 \(C = \sqrt {2 \pi}\) ，于是冠名权就给了斯特林。 斯特林公式可以大大简化阶乘的计算，特别是当 \(n\) 很大时，它提供了一个非常精确的近似值。斯特林公式使得复杂的阶乘计算可以通过较为简单的幂函数、指数函数和根号运算来完成。相比于直接计算阶乘，它极大地减少了计算量，是大数问题中不可或缺的工具。 斯特林公式中集合了圆周率 \(\pi\) 和自然常数 \(e\) ，这 \(2\) 个数学中最重要的常数，十分独特且具有美感。因为 \(e\) 意味着 连续增长 ，而阶乘就是连续自然数的相乘。而出现 \(\pi\) 的时候，就要问自己 “Where is the circle?”，那么阶乘是如何和几何中的圆扯上关系了呢？ 关于斯特林公式的证明，常见的证明是对数形式的证明或者利用伽马函数( \(\textit{Gamma Function}\) )来证明，这里将介绍一种从零开始更易理解的推导方式。

By Long Luo 知乎上有个问题是高考数学最后一题可以有多难？ ，而公认 史上最难高考数学题 就是 。2005 - 2014 年是江西自主命题，而江西卷也以题难计算量大著称，尤其是数学和理综。 是 2005 - 2011 年江西高考数学命题组组长，参与了 2005 - 2011 年江西高考命题，他出江西数学卷时，是江西30多万学生被支配的恐惧！ 作为一名来自十八线农村做题家，高考时赶上了江西自主命题，在考场上也体会到了数学和理综卷题目居然没做完没思路的恐惧！中学时没能感受到数学的乐趣，最近几年看了一些数学书之后，重新拾起了数学的乐趣，经常找些数学题来训练下我的思维，今天就来挑战一下 2010 年江西高考理科数学压轴题： （本小题满分14分） 证明以下命题： 对任意正整数 \(a\) ，都存在正整数 \(b, c\) （ \(b < c\) ）使得 \(a^2, b^2, c^2\) 为等差数列. 存在无穷多互不相似的三角形 \(\triangle_n\) ，其边长 \(a_n, b_n, c_n\) 为正整数且 \(a_n^2, b_n^2, c_n^2\) 成等差数列. 这道题其实是数论( \(\textit{Number theory}\) ) 背景，除了搞竞赛的同学，谁学过数论呢？这种构造性( \(\textit{Constructive proof}\) ) 题目，没有接触过类似题目的话，根本不知道如何下手。要是我在考场上也会一脸懵圈，甚至在几年前我也是一筹莫展，不过现在倒是有勇气挑战这类题目了！网上关于这道题的参考答案太简略了，主要是如何找到答案的构造不清楚。这道题真是一道绝妙的题，我花了比较长时间来思考这道题，下面详细描述我的解题思路。 第一问 根据题意，正整数 \(a, b, c\) 且 \(b < c\) ，满足 \(a^2, b^2, c^2\) 为等差数列，即： \[ b^2 - a^2 = c^2 - b^2 \Rightarrow 2b^2 = a^2 + c^2 \] 观察上式，我们可以得到 \(2\) 个推论： \(a < b < c\) ； \(a\) 和 \(c\) 要么都是偶数，要么都是奇数。 因为 \(a\) 为任意正整数，那么就 从最简单的开始 ，不妨设 \(a = 1\) ，则有： 令 \(c = 1\) , 得 \(b = 1\) ，与 \(a < b < c\) 矛盾； 令 \(c = 3\) , 得 \(b = \sqrt {5}\) ，与 \(b\) 为正整数矛盾； 令 \(c = 5\) , 得 \(b = \sqrt {13}\) ，与 \(b\) 为正整数矛盾； 令 \(c = 7\) , 得 \(b = 5\) ，满足条件。 简单猜测实验得到一组要求的值： \(a = 1\) , \(b = 5\) , \(c = 7\) 。 再设 \(a = 2\) ，同理有： 令 \(c = 4\) , 得 \(b = \sqrt {10}\) ，与 \(b\) 为正整数矛盾； 令 \(c = 6\) , 得 \(b = 2 \sqrt {5}\) ，与 \(b\) 为正整数矛盾； 令 \(c = 8\) , 得 \(b = \sqrt {34}\) ，与 \(b\) 为正整数矛盾； 令 \(c = 10\) , 得 \(b = 2 \sqrt {13}\) ，与 \(b\) 为正整数矛盾； 令 \(c = 12\) , 得 \(b = \sqrt {74}\) ，与 \(b\) 为正整数矛盾； 令 \(c = 14\) , 得 \(b = 10\) ，满足条件。 通过实验又得到一组要求的值： \(a = 2\) , \(b = 10\) , \(c = 14\) 。 综合 \(a\) 为奇数和偶数的情况，猜想： 对于 \(\forall a = n \in \mathbb{N}^+\) ，令 \(b = 5a\) , \(c = 7a\) ，易得： \[ 2 \cdot (5n)^2 = n^2 + (7n)^2 \] 故命题(1)得证。